↙️ backlink

• 量词
  • 全称量词（ $\forall x$）：所有的 $x$；任意的 $x$；一切的 $x$；每一个 $x$； $\cdots$
  • 存在量词（ $\exists x$）：有些 $x$；至少有一个 $x$；某一些 $x$；存在 $x$； $\cdots$
  • 其中的 $x$称为作用变量，一般将其量词加在其谓词之前，记为 $(\forall x)F(x),(\exists x)F(x)$. 此时， $F(x)$称为全称量词和存在量词的辖域.
  • 例子
    • 所有的老虎都要吃人： $P(x):x$要吃人. $(\forall x)P(x),x\in \{老虎 \}$.
    • 每一个大学生都会说英语： $P(x):x$会说英语. $(\forall x)P(x),x\in \{大学生 \}$.
    • 有一些人登上过月球： $P(x):x$登上过月球. $(\exists x)P(x),x\in \{人 \}$.
    • 存在自然数是素数： $P(x):x$是素数. $(\exists x)P(x),x\in N$.
• 更准确的表达（利用全总个体域）
  • 所有的老虎都要吃人：
    • $T(x):x$是老虎
    • $P(x):x$要吃人
    • $(\forall x)(T(x)\rightarrow P(x))$
  • 有一些人登上过月球：
    • $H(x):x$是人
    • $R(x):x$登上过月球
    • $(\exists x)(H(x)\land R(x))$
• 谓词逻辑符号化的两条规则
  • 统一个体域为全总个体域，而对每一个句子中个体变量的变化范围用一元特性谓词刻画之. 这种特性谓词在加入到命题函数中时必定遵循如下原则
    • 对于全称量词，刻画其对应个体域的特性谓词作为蕴含式前件加入
    • 对于存在量词，刻画其对应个体域的特性谓词作为合取式的合取项加入
• 量词相关的真值确定
• 个体域有限时
  • $(\forall x)G(x)=G(x_0)\land G(x_1)\land\cdots\land G(x_n)$
  • $(\exists x)G(x)=G(x_0)\lor G(x_1)\lor\cdots\lor G(x_n)$