↙️ backlink

命题公式和真值表

命题变元
- 常值命题
  - 一个特定的命题是一个常值命题，它不是具有值“T”，就是具有值“F”.
- 命题变元
  - 一个任意的没有赋予具体内容的原子命题是一个变量命题，常称它为命题变量（或命题变元）（propositional variable），该命题变量无具体的真值，它的变域是集合 $\{T,F \}$ .
命题公式
- 当复合命题中包含命题变元时，此复合命题也即为命题变元的函数，且该函数的值仍为“真”或“假”，这样的函数可形象地称为“真值函数”或“命题公式”，此命题公式没有确切的真值.
- 例如： $G=P\land Q\to\neg R$ .
- 命题公式生成规则
  - 命题变元本身是一个公式
  - 如果 $G$ 是公式，则 $(\neg G)$ 也是公式
  - 如 $G$ ， $H$ 是公式，则 $(G\land H)$ 、 $(G\lor H)$ 、 $(G\to H)$ 、 $(G\leftrightarrow H)$ 也是公式
  - 仅由有限步使用上述规则后所得到的包含命题变元、联结词和括号的符号串才是命题公式
- 记法
  - 如果 $G$ 是含有 $n$ 各命题变元 $P_1,P_2,\cdots,P_n$ 的公式，可记为 $G(P_1,P_2,\cdots,P_n)$ 或简写为 $G$ .
- 说明
  - 原子命题是最简单的合式公式，称为原子合式公式，简称原子公式
  - 命题公式没有真值，只有对其命题变元进行真值指派后，方可确定命题公式的真值
  - 整个公式的最外层括号可以省略；不影响运算次序的括号也可以省略
  - 在实际应用中，为了便于存储和运算，命题公式常用二元树的方式来表达
公式的解释
- 对公式中所有命题变元的真值进行指定，则称指定的这组真值为命题公式的一个解释，常记为 $I$ .
- 例子
  - 设有公式： $G=P\to(\neg Q\land R)$
  - $I_1:P=0,Q=1,R=0$ 是 $G$ 的一个解释，使得 $G$ 的真值为1.
- 如果公式 $G$ 在解释 $I$ 下是真的，则称 $I$ 满足 $G$ ，此时 $I$ 是 $G$ 的成真赋值；如果 $G$ 在解释 $I$ 下是假的，则称 $I$ 弄假于 $G$ ，此时 $I$ 是 $G$ 的成假赋值.
真值表（truth table）
- 有 $n$ 个命题变元的公式应有 $2^n$ 个不同的解释
- 利用真值表可得到公式的所有成真赋值和成假赋值
- 真值表画法
  - 一般将公式中的命题变元放在真值表的左边，将公式的结果放在真值表的右边. 有时为了清楚起见，可将求公式的中间结果也放在真值表中.
- 例子
  - 设有公式： $G=(P\to((\neg P\leftrightarrow Q)\land R))\lor Q$ ，则 $G$ 的真值表为：[[离散数学图表1 - G的真值表|G的真值表]]