1.2 特殊集合与集合间的关系

特殊集合

空集

不含任何元素的集合，可以符号化为 $\varnothing= \{x|x\not=x \}$

全集

针对一个具体的范围，我们考虑的所有对象的集合称为全集，记作 $U$ 或 $E$ . 在文氏图中一般使用方形来表示全集.

全集是相对唯一的，在确定的范围内是唯一的，但范围变了，就可能会有不同的全集.

集合元素的基本特性

相等

具有相同的元素，称两集合相等.

集合的外延性原理（外延公理）：两个集合 $A$ 和 $B$ 相等，当且仅当他们的元素完全相同，记为 $A=B$ ，否则 $A$ 和 $B$ 不相等，记为 $A\not=B$ .

子集和真子集

集合相等的充要条件

设 $A$ ， $B$ 为任意两个集合，则 $A=B\iff A\subseteq B$ 并且 $B\subseteq A$ .

n元集的子集个数

对于任意n元集合 $A$ ，它的 $m$ 元（ $0\leqslant m\leqslant n$ ）子集个数为 $C_n^m$ 个，所以不同的子集个数为：

C_n^0+C_n^1+\cdots+C_n^n=(1+1)^n=2^n.

幂集

集合 $A$ 所有子集构成的集合称为其幂集，记作 $P(A)$ ， $P(A)= \{x|x\subset A \}$ . 幂集也叫做集族或集合的集合，对集族的研究在数学方面、知识库和表处理语言以及人工智能等方面都有十分重要的意义.