完了😭，期末了来不及学矩阵分析了，算了就记住这些吧

根据B站知名UP主苑长，章节的重要性排序为：

1>3\approx4>6>2\approx5

第1章线性空间与线性变换

前两章的概念和定理较多，着重理解记忆。

定义
- 封闭性
- 交结零负，结单分分（😅）
维数：可以理解为有多少影响因子
基与基到基的过渡矩阵
- 过渡矩阵
- 一个定理
  - 如果 $\alpha$ 在基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 下坐标为 $(x_1,\cdots,x_n)^T$ ，在基 $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 下坐标为 $(y_1,\cdots,y_n)^T$ ，从 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 到 $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 的过渡矩阵为 $A$ ，则 $(x_1,\cdots,x_n)^T=A(y_1,\cdots,y_n)^T$
  - 且 $A$ 是可逆的
  - 务必注意顺序啊！
子空间及其和、交、直和
- 注意和的定义
- 和的性质：交结
- ⭐维数公式
  - $dim(V_1+V_2)=dim(V_1)+dim(V_2)-dim(V_1\cap V_2)$
生成子空间
- ⭐若 $V_1=Span(\alpha_1,\cdots,\alpha_s),V_2=Span(\beta_1,\cdots,\beta_t)$ 则 $V_1+V_2=Span(\alpha_1,\cdots,\alpha_s,\beta_1,\cdots,\beta_t)$
线性变换及其在某一基下的矩阵
- 在某一基下的矩阵相当于 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 到 $T(\alpha_1),\cdots,T(\alpha_n)$ 的过渡矩阵
- 线性变换的核与像
- 一个定理
  - 如果 $\alpha$ 在基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 下坐标为 $(x_1,\cdots,x_n)^T$ ， $T$ 为在这一基下的矩阵，则 $T(\alpha)$ 在这一基下的坐标 $(y_1,\cdots,y_n)^T=A(x_1,\cdots,x_n)^T$
  - 注意与前面的那个定理区分
- 线性变换是同一线性空间内的映射，因此其矩阵必须是方阵
- ⭐线性变换在不同基下矩阵的关系
  - 线性变换 $T$ 在基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 和基 $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 下矩阵分别为 $A,B$ ，则 $A\sim B$ ，若 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 到 $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 过渡矩阵为 $P$ ，则 $B=P^{-1}AP$ .

第2章内积与欧氏空间

最小二乘解求法

A^TAx=A^Tb

解出x

求奇异值

求 $A^HA$
求 $A^HA$ 的特征值
非零特征值开方就是奇异值了

第3章矩阵的标准形

求Jordan标准形的方法

方法一

$\lambda E-A$
行列式因子
不变因子
初级因子
Jordan块
J

方法二（据说更简单）

$\lambda E-A$
化为等价得Smith标准形
不变因子->初级因子->…

Jordan标准形的1可以在左下也可以在右上

已知初级因子求不变因子

不同的根的最高次幂放在 $d_r(\lambda)$

⭐⭐⭐求 $\lambda$ -矩阵Smith标准形

貌似只可意会不可言传，还是通过例题体会吧

求最小多项式方法

根据哈密顿-凯莱（Cayley-Hamilton）定理 $f(\lambda)=|\lambda E-A|=0$ 是一个特殊的零化多项式
观察某些幂能不能低次

Hints

Jordan标准形与块序无关
多项式中次数为非负整数
可以运用零化多项式简化矩阵运算
$\lambda$ -矩阵的秩：不为零子式的最大阶数
满秩 $\lambda$ -矩阵不一定可逆，可逆的充要条件是 $|A(\lambda)|=C\not=0$
$\lambda$ $λ$ -矩阵的初等变换
1. 互换
2. 数乘非零k
3. 乘多项式加到另一行

第4章矩阵分解

LU分解步骤

写成分块矩阵形式 $(A,E)$
只做第三类初等行变换，变为如下形式

\begin{bmatrix}上三角&|&主元为1的下三角\end{bmatrix}

左侧记为 $U$ ，右侧记为 $P$
求 $P$ 的逆 $L=\frac{1}{|P|}P^*$
$A=LU$

求Ax=b可先分解A=LU

LDU分解步骤

LU分解
老U中的主对角元组成D，新U为分别除以主角元

⭐⭐QR分解步骤

$A$ 写作 $(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$
施密特得 $\beta_1\cdots$
单位化得 $\gamma_1\cdots$
得

Q=(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n)

R=\begin{bmatrix}||\beta_1||&(\alpha_2,\gamma_1)&\cdots&(\alpha_n,\gamma_1)\\\\&||\beta_2||&\cdots&(\alpha_n,\gamma_2)\\\\&&\ddots&\vdots\\\\&&&||\beta_n||\end{bmatrix}

满秩分解步骤

初等行变换为行最简形
每个首1在原矩阵中的列组成 $P$
首1行组成 $Q$
$A=PQ$

奇异值分解步骤（这个简单，只要到时候不做就行了）

求出 $A^HA$ 的特征值 $\lambda_1\geqslant\cdots\geqslant\lambda_r>0=\lambda_{r+1}\geqslant\cdots\geqslant\lambda_n$ ，确定非零奇异值 $d_i=\sqrt{\lambda_i}$
求特征向量并单位正交化，得 $\gamma_1,\cdots,\gamma_r,\gamma_{r+1},\cdots,\gamma_n$ 令

V=(V_1,V_2)

V_1=(\gamma_1,\cdots,\gamma_r),\ V_2=(\gamma_{r+1},\cdots,\gamma_n)

计算 $U_1=AV_1D^{-1}$ ，其中 $D=diag(d_1,\cdots,d_r)$ ，取 $U_2\in C^{m\times(m-r)}$ 使得其 $m-r$ 个列向量和 $U_1$ 的 $r$ 个列向量构成 $C^m$ 的标准正交基
令 $U=(U_1,U_2)$ ，从而 $A=U\Sigma V^H$ ，其中

\Sigma=\begin{bmatrix}D&O\\\\O&O\end{bmatrix}

求加号逆的步骤

若行满秩则 $A^+=A^H(AA^H)^{-1}$
若列满秩则 $A^+=(A^HA)^{-1}A^H$
若非满秩则进行满秩分解 $A=BC$ ，其中 $B$ 为列满秩， $C$ 为行满秩
求 $B^+$ 和 $C^+$
$A^+=C^+B^+$

第5章范数理论及其应用

向量的范数计算方法

||\mathbf\alpha||\substack 1=\sum_{i=1}^n|x_i|

||\mathbf\alpha||\substack 2=\sqrt{\sum_{i=1}^n|x_i|^2}

||\mathbf\alpha||\substack \infty=\max_i|x_i|

都是要先算绝对值的

矩阵的范数计算方法

m-范数

||\mathbf{A}||\substack {m_1}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|a_{ij}|

||\mathbf A||\substack {m_2}=||\mathbf A||\substack F=\sqrt{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^2}=\sqrt{tr(\mathbf A^H\mathbf A)}

||\mathbf A||\substack {m_\infty}=n\max_{i,j}|a_{ij}|

其他

||\mathbf A||\substack 1=\max_{1\leqslant j\leqslant n}\sum_{i=1}^n|a_{ij}|

即列模和最大者

||\mathbf A||\substack \infty=\max_{1\leqslant i\leqslant n}\sum_{j=1}^n|a_{ij}|

即行模和最大者

||\mathbf A||\substack 2=\sqrt{\lambda_n}=\sqrt{\max_i\lambda_i(\mathbf A^H\mathbf A)}

$\lambda_n$ 是矩阵 $\mathbf A^H\mathbf A$ 的最大特征值*

求极小范数最小二乘解

\mathbf x_0=\mathbf A^+\mathbf b

记住两个不等式

对于任意一种范数 $||\mathbf\cdot||$ ，有

\rho(\mathbf A)\leqslant||\mathbf A||

对 $\forall\varepsilon>0$ ，存在 $||\cdot||\substack m$ 使得

||\mathbf A||\substack m\leqslant\rho(\mathbf A)+\varepsilon

其中 $\rho(\mathbf A)=\max_j|\lambda_j|$ 为矩阵 $\mathbf A$ 的谱半径

第6章矩阵分析及其应用

据说这章有30分

函数矩阵的导数&积分

就是每个元素求导或者求积分就完事儿了

矩阵的幂级数（收敛性判断）

知识点
- 矩阵的幂级数
  - 设 $A=(a_{ij})\in C^{n\times n}$ ，称形如 $\sum_{k=0}^{+\infty}a_kA^k=a_0E+a_1A+\cdots+a_kA^k+\cdots$
  - 的矩阵级数为矩阵幂级数
- 收敛性
  - 设幂级数 $\sum_{k=0}^{+\infty}a_kX^k$ $\sum_{k = 0}^{+ \infty} a_{k} X^{k}$ 的收敛半径为 $R$ $R$ ， $A\in C^{n\times n}$ $A \in C^{n \times n}$ ，则
    1. 当 $\rho(A)<R$ 时， $\sum_{k=0}^{+\infty}a_kA^k$ 绝对收敛
    2. 当 $\rho(A)>R$ 时， $\sum_{k=0}^{+\infty}a_kA^k$ 发散
- 收敛半径 $R=1/\rho$ $R = 1/ ρ$
  - 其中 $\rho=\lim_{k\to\infty}|\frac{a_{k+1}}{a_k}|$
判断敛散性步骤
1. 求收敛半径 $R$
2. 观察 $||\cdot||\substack1,||\cdot||\substack{+\infty}$ 是否小于 $R$ ，若小于，则收敛
3. 求特征值，然后 $\rho(A)=\max_j\lambda_j$
4. 若 $\rho(A)<R$ 则收敛
5. 如果不好搞可以用定义判断： $\lim_{k\to+\infty}\mathbf A^k=\mathbf O$
求矩阵幂级数的和
1. 记和为 $S$
2. 左乘 $A$
3. 错位相减

求矩阵函数步骤

求[[#求最小多项式方法|最小多项式]] $\varphi(\lambda)$
设多项式 $r(\lambda)=a_0+a_1\lambda+\cdots+a_r\lambda^r$ ，其次数比 $\varphi(\lambda)$ 少1
设 $f(\lambda)$ 为原函数
将各特征值同时代入 $r(\lambda)$ 和 $f(\lambda)$ 中，如果约束不够，可以两个多项式分别对 $\lambda$ 求导再代入
解得 $a_0,\cdots,a_r$
$f(A)=a_0E+a_1A+\cdots+a_rA^r$

微分方程组求解

齐次线性微分方程组

\begin{cases} \frac{dx}{dt}=Ax\\\\x(t_0)=x_0 \end{cases}

的解为

x(t)=e^{A(t-t_0)}x_0

非齐次线性微分方程组

\begin{cases} \frac{dx}{dt}=Ax+f(t)\\\\ x(t_0)=x_0 \end{cases}

的解为

\begin{aligned} x(t)&=e^{A(t-t_0)}x_0+\int_{t_0}^te^{A(t-s)}f(s)ds \\\\ &=e^{A(t-t_0)}x_0+e^{At}\int_{t_0}^te^{-As}f(s)ds \end{aligned}

$t$ 是参数， $t_0$ 是个数， $x_0,f(\cdot)$ 是向量

已知 $e^{At}$ 求 $A$

A=\frac{de^{At}}{dt}\bigg|\substack{t=0}