2.9 命题蕴涵公式

↙️ backlink

• 推理
  • 是指从一组前提合乎逻辑地推出结论的思维过程
  • 逻辑结果
    • 设 $G_1,G_2,\cdots,G_n,H$是公式，称 $H$是 $G_1,G_2,\cdots,G_n$的逻辑结果当且仅当对任意解释 $I$，如果 $I$使得 $G_1\land G_2\land\cdots\land G_n$为真，则 $I$也会使 $H$为真. 记为 $G_1,G_2,\cdots,G_n\Rightarrow H$. “ $\Rightarrow$”称为蕴涵关系. 此时称 $G_1,G_2,\cdots,G_n\Rightarrow H$为有效的，否则称为无效的. $G_1,G_2,\cdots,G_n$称为一组前提，有时用集合 $\Gamma$（Gamma）来表示，记为 $\Gamma= \{G_1,G_2,\cdots,G_n \}$， $H$称为结论. 此时也称 $H$是前提集合 $\Gamma$的逻辑结果. 记为 $\Gamma\Rightarrow H$.
• 推理的判定定理
  • 公式 $H$是前提集合 $\Gamma= \{G_1,G_2,\cdots,G_n \}$的逻辑结果当且仅当 $(G_1\land G_2\land\cdots\land G_n)\rightarrow H$为永真公式.
• 推理定律-基本蕴涵关系：设 $G,H,I$为任意命题公式 ^888c3a
  • 简化规则： $G\land H\Rightarrow G;\ G\land H\Rightarrow H$
  • 添加规则： $G\Rightarrow G\lor H;\ H\Rightarrow G\lor H$
  • 合取引入规则： $G,H\Rightarrow G\land H$
  • 选言三段论： $G\lor H,\neg G\Rightarrow H;\ G\lor H,\neg H\Rightarrow G$
  • 假言推理规则： $G\rightarrow H,G\Rightarrow H$
  • 否定后件式： $G\rightarrow H,\neg H\Rightarrow\neg G$
  • 假言三段论： $G\rightarrow H,H\rightarrow I\Rightarrow G\rightarrow I$
  • 二难推论： $G\lor H,G\rightarrow I,H\rightarrow I\Rightarrow I$