1.5 可数集合与不可数集合

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• 可数（countable）：就是可以数…
• 自然数集的定义
  • 皮亚诺公理化定义
  • 冯诺依曼的自然数定义
    • $\varnothing\in N$
    • 若 $n\in N$，则 $n'\equiv n\cup \{n \}\in N$
    • 从而，这个集合序列的基数就可以用来定义自然数：
      • $0\equiv|\varnothing|$;
      • $1\equiv|\varnothing\cup \{\varnothing \}|=| \{\varnothing \}|$;
      • $2\equiv| \{\varnothing \}\cup \{\{\varnothing\} \}|=| \{\varnothing \{\varnothing \} \}|;$
      • …
• 等势
  • 设 $A,B$为两个集合，若 $A,B$之间存在一种一一对应的关系： $\Psi:A\to B$
  • 则称 $A$与 $B$是等势的（equipotential），记作： $A\sim B$.
  • 由等势的定义可以看出， $A=B\Rightarrow A\sim B$.
• 可数集合
  • 凡与自然数集合 $N$等势的集合，称为可数集合（countable set），该集合的基数记为 $\aleph_0$（读作阿列夫零）.
  • 例子
    • 正奇数集合是可数集合
    • 素数集合是可数集合
    • 有理数集合是可数集合
      • 
• 不可数集合
  • 开区间 $(0,1)$称为不可数集合，凡与开区间 $(0,1)$等势的集合，称为不可数集合，该类集合的基数记为 $\aleph$（或 $\aleph_1$，更常见的是不带下标的记法）（读作阿列夫）.
  • 例子
    • 闭区间 $[0,1]$是不可数集合
      • 
    • 实数集合是不可数集合
      • $n\to\tan \pi(\frac\{2n-1\}\{2\})$