1.4 集合的运算定律

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幂等律

设 $U$为全集， $A,B,C$为任意集合.

• $A\cup A=A,\ A\cap A=A$
• 幂运算：从乘法运算拓展而来的一般情况，若某种运算满足特定条件，则称为针对XX运算的多少次幂. $A\cup A$可看作 $A$针对并运算的2次幂.
• 结论：并和交运算，集合的1,2,3, $\cdots$次幂相等（因此叫做幂等律）.

交换律

• $A\cup B=B\cup A,\ A\cap B=B\cap A$.

结合律

• $A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C,\ A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$.

同一律

• $A\cup\varnothing=A,\ A\cap U=A$.

零律

• $A\cup U=U,\ A\cap\varnothing=\varnothing$.

分配律

• $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C),\ A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$.

吸收律

• $A\cup(A\cap B)=A,\ A\cap(A\cup B)=A$.

矛盾律和排中律

• $\overline A\cap A=\varnothing,\ \overline A\cup A=U$.

双重否定律

• $\overline\{\overline A\}=A$

德摩根律

• $\overline\{A\cup B\}=\overline A\cap\overline B,\ \overline\{A\cap B\}=\overline A\cup\overline B$.